К разделу 'Математика' сайта AlgoList.

Домой Оглавление

F-распределение


 
Обозначение
Область значений
Параметры Количества степеней свободы – целые положительные числа и , параметры формы.
Плотность
Математическое ожидание ,
Дисперсия ,
Функция распределения

Не выражается в элементарных функциях

 
  Полезные свойства


  1. Распределение и бета-распределение связаны следующим соотношением =.
  2. Значение (1-)-квантиля распределения есть величина, обратная -квантилю распределения . То же самое формулой:

    3. =,

    здесь, как и всюду -1 в качестве верхнего индекса говорит об обратной функции.

  3. Если , две независимые случайные величины с n1 и n2 степенями свободы соответственно, то ~. Это соотношение – один из основных источников применения F-распределения, а также причина еще одного его названия, распределение дисперсионного отношения: ведь при применении дисперсионного анализа принято считать, что исходные наблюдения распределены нормально и, значит, дисперсии подчиняются распределению .

Вот статистическая переформулировка последнего свойства. Пусть даны два набора независимых в совокупности нормальных случайных величин: , i=1..nx, , i=1..ny. Определим случайные величины , , и следующим образом:

, , , . Тогда случайная величина подчиняется F-распределению с параметрами nx и ny.
 
 
 
 
  Генерация случайных чисел


Методы, специфические для данного распределения, мне неизвестны.
  Вычисление функции распределения и ее квантилей


Проще всего использовать указанную связь с бета-распределением.

Для вычисления с помощью нижеследующих кодов потребуются файлы betaDF.h и betaDF.cpp (их описание см. в тексте о бета-распределении, а также logGamma.h и logGamma.cpp (см. Приложение А).
 
 

Файл FDF.h

#ifndef __FDF_H__                      /* To prevent redefinition           */

#define ENTRY   extern
#define LOCAL   static

double FDF(double n1, double n2, double x);
/* Вычисляет вероятность того, что случайная величина,
 * подчиняющаяся центральному F-распределению с параметрами n1 и n2,
 * не превосходит заданного значения x.
 */
double inv_FDF(double n1, double n2, double p);
/* Ищет точку, в которой функция F-распределения
 * с параметрами n1 и n2 равняется p
 */

#define __FDF_H__                      /* Prevents redefinition             */
#endif                                 /* Ends #ifndef__FDF_H__             */

Файл FDF.cpp

#include <math.h>
#include <assert.h>

#include "betaDF.h"

ENTRY double
FDF(double n1, double n2, double x)
// Вычисляется вероятность того, что случайная величина,
// подчиняющаяся центральному F-распределению с параметрами n1 и n2,
// не превосходит заданного значения x.
{
   assert(x >= 0.0);
   return 1.0 - BetaDF(0.5 * n2, 0.5 * n1).value(n2 / (n2 + n1 * x));
}/*FDF*/

ENTRY double
inv_FDF(double n1, double n2, double p)
// Ищет точку, в которой функция F-распределения
// с параметрами  n1 и n2 равняется p
{
   double y=BetaDF(0.5 * n1, 0.5 * n2).inv(p);
   return n2*y/n1/(1-y);
}/*inv_FDF*/

Дата последней модификации: 29 апреля 2000 г.